TEMA 1: LOS NÚMEROS NATURALES
Origen: Los
números naturales probablemente surgieron por la necesidad que tenían los
hombres primitivos de contar y representar cantidades.
El
conjunto de todos los números naturales, desde el 0 hasta el infinito, se representa
con la letra N.
Antes
de llegar al sistema actual de escritura de infinitos números con sólo 10
cifras, la Humanidad ha pasado por distintas formas de representar cantidades
utilizando diversos símbolos o, incluso, letras.
Dos
de estos sistemas de numeración fueron el de los egipcios, que representaban
las cantidades con 4 símbolos jeroglíficos, y el de los romanos, que empleaban
7 letras (I, V, S, L, C, D, M). A cada símbolo egipcio o cada letra romana les
asignaban un valor.
Estos
sistemas, el egipcio y el romano, eran aditivos, porque el valor de los
signos o letras no cambiaban según la posición que ocuparan, sino que se
sumaban.
Recuerda:
en el número romano XIII, la X vale 10 y la I vale 1 en sus tres posiciones.
Sumados los valores obtenemos que XIII = 13.
Sistema de numeración decimal: Conjunto de números (10 cifras) y reglas que los
relacionan para poder formar cantidades de más de una cifra.
Una
de estas reglas se refiere al valor de cada cifra según su posición.
Así, la primera cifra de la derecha (unidades) tiene el mismo valor que
representa. A partir de aquí, cada posición hacia la izquierda va multiplicando
sucesivamente por 10 el valor de la cifra situada en dicha posición.
Así,
en el número 757, la primera cifra de la derecha, el 7, en primera posición
(unidades), tiene el mismo valor que representa, 7. La cifra 5, en segunda
posición (decenas), tiene un valor de 50 (5 x 10) y la otra cifra 7, en tercera
posición (centenas), representa un valor de 700 (7 x 100).
En
resumen, se llama sistema,
porque es un conjunto de cifras y reglas. Se dice que es un sistema posicional, porque el
valor de cada cifra depende de su posición, y es un sistema decimal, porque sólo hay
10 cifras y su valor se va multiplicando por 10 de una posición a otra, de
derecha a izquierda.
Para
formar números, cada cifra puede ocupar alguna de las siguientes posiciones (u
órdenes de unidades):
|
Órdenes
|
…UM
|
Cm
|
Dm
|
Um
|
C
|
D
|
U
|
d
|
c
|
m…
|
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Lectura
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Unidad de millón
|
Centena de
millar
|
Decena de
millar
|
Unidad de
millar
|
Centena
|
Decena
|
Unidad
|
décima
|
centésima
|
milésima
|
|
Ejemplo
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2
|
3
|
2
|
3
|
|
|
|
Cada orden de unidades equivale a
10 unidades del orden inmediato que está a su derecha.
1 D = 10 U, 1 C
= 10 D
1 Um = 10 C = 100 D = 1.000 U
1 U = 10 d = 100 c = 1.000 m
A
los órdenes de unidades inferiores a la Unidad los conocemos como decimales.
Existen
también órdenes de unidades superiores al millón, entre los que citamos el millardo
y el billón. El millardo equivale a mil millones (109) y el
billón, a un millón de millones (1012). ¡Ojo! El billón inglés (109)
no es el billón europeo (1012), sino que equivale al millardo (109),
o sea, a mil millones.
(A propósito, parece ser que
la Real Academia Española creó en 1995 la palabra millardo, con el fin de que
hubiera un equivalente al billón inglés. De todas formas, es un término poco
utilizado en la vida práctica).
Representación gráfica: Los números naturales se pueden representar en una
recta en la que se marca un punto, que será el lugar que represente al cero. A la
derecha del cero se hacen divisiones iguales para representar a los siguientes
números naturales.
|
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0
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1
|
2
|
3
|
4
|
5...
|
||||||
Ordenación: Para
saber qué lugar o posición ocupa algo o alguien dentro de un conjunto de
elementos se utilizan los números ordinales:
primero, segundo, tercero, etc.
Para
saber el orden de dos o más números, o sea, si uno es mayor o menor que otro,
se emplean los siguientes signos:
> (mayor
que) < (menor que) = (igual)
5 > 3 2 < 7 4 = 4
(El último signo se suele
leer: 4 igual 4 o, lo más utilizado, 4 igual a 4 o, incluso, 4 igual que 4).
Sumar: Sumar
es reunir varias cantidades en una sola.
3
+ 2 = 5 4 + 7 + 6 = 17 32 + 25 = 57 46 + 53 = 99
Los
términos
de la suma se llaman: 3 4 7 → Sumando
+
6 2 5 → Sumando
--------
9 7 2 →
Suma o resultado
Restar: Restar
es quitarle una cantidad a otra.
6
– 4 = 2 13 – 5 = 8 17 – 9 = 8
Los
términos
de la resta se llaman: 8 4 7 → Minuendo
- 5 6 3 → Sustraendo
--------
2 8
4 → Resto o Diferencia
Igualdades
en la resta: Minuendo – sustraendo = resto 7 – 4 = 3
PRUEBA → Minuendo = sustraendo + resto 7 = 4 + 3
Minuendo – resto = sustraendo 7
– 3 = 4
Multiplicar:
Multiplicar es realizar una suma de sumandos iguales.
3 + 3 + 3 + 3 = 4 x 3 = 12
(Esto se puede leer como
cuatro por tres igual a 12 y como cuatro veces tres igual a 12)
Los
términos
de la multiplicación se llaman: 3 4 6
→ Multiplicando
x 7 → Multiplicador
---------
2 4 2 2
→ Producto
(Los nombres de
multiplicando y multiplicador suelen
utilizarse en las multiplicaciones colocadas una debajo de otra, como sucede en
los primeros cursos de Educación Primaria. Sin embargo, cuando los términos
están colocados en línea, uno al lado del otro, se les suele llamar factores:
así, por ejemplo, en 3 x 4 = 12, el 3 y el 4 son los factores y el 12 es el
producto).
Propiedades de la suma y de la multiplicación
a) Conmutativa: El orden de los sumandos (o de los factores, en el
producto) no altera el resultado.
a + b = b + a→ 2 + 3 = 3 + 2 a · b
= b · a→ 2 · 3 = 3 · 2
5 = 5 6 = 6
b) Asociativa: Si hay más de dos sumandos (o factores, en el
producto), para poder sumarlos o multiplicarlos hay que asociarlos (agruparlos)
de dos en dos como se prefiera.
a + (b + c) = (a + b) + c→ 2 + (3 + 4) = (2 + 3)
+ 4 2 + 7 = 5 + 4
9 = 9
a · (b · c) = (a · b) · c→ 2 · (3 · 4) = (2 · 3) · 4
2 · 12 = 6 · 4
24 = 24
(Esta propiedad nos puede ayudar
a realizar las sumas con más facilidad y mayor rapidez. Así, por ejemplo, si
tuvieras que realizar la siguiente suma
4
2 6 3
5
7 8 9
3
2 1 7
---------
podrías
empezar de varias maneras: 3 más 9 igual a 12, 12 más 7 igual a 19. O bien
podrías sumar: 9 más 7 igual a 16, 16 más 3 igual a 19. Y, por último, lo que
yo haría: 7 más 3 igual a 10, 10 más 9 igual a 19).
c) Elemento Neutro: Es el elemento que operado con un número da ese mismo
número.
En
la suma el elemento neutro es el cero (4 + 0 = 4) y en la multiplicación es el
1 (4 x 1 = 4).
a + e = a→ 3 + 0 = 3 a · e = a→ 3 · 1 =
3
d) Propiedad distributiva de la multiplicación con
respecto a la suma o resta: Si hay
que multiplicar un número por una suma (o resta) se puede multiplicar al número
por cada uno de los sumandos y sumar (o restar) los resultados
a · (b + c) = a · b + a · c→ 2 · (3 + 4) = 2 · 3
+ 2 · 4
2 · 7 = 6 + 8
14 = 14
a · (b – c) = a · b – a · c→ 2 · (4 – 3) = 2 · 4
– 2 · 3
2 · 1 = 8 – 6
2 = 2
(Esta propiedad ahora, al
principio, la verás un poco absurda y te parecerá que los profesores la ponemos
para dificultarte la vida. De todas formas, si te piden que realices la
siguiente operación 13 · (3 + 2) y no te indican cómo, tú puedes operar como te
sientas más seguro: puedes sumar 3 más 2 igual a 5 y multiplicar 5 por 13 igual
a 65 (recuerda: primero se opera lo que hay dentro del paréntesis). También
podías haber aplicado la propiedad distributiva: 13 por 3 igual a 39, 13 por 2
igual a 26 y sumar 39 más 26 igual a 65. Estoy de acuerdo en que de la primera
manera es más cómoda y sencilla, pero eso no quiere decir que la propiedad
distributiva carezca de efectividad; ya irás viendo, conforme vayan aumentando
tus conocimientos, que esta propiedad es muy útil).
Dividir: Dividir
es repartir una cantidad en partes iguales.
6
: 2 = 3 28
: 4 = 7
Los
términos
de una división se llaman: Dividendo, la cantidad que se reparte, divisor,
las partes en que se divide, cociente, el resultado, la cantidad que
corresponde a cada parte, y resto, si lo hay, es lo que sobra.
Dividendo→ 29 | 4 ← divisor
resto
→ 1
7 ← cociente
Igualdad
fundamental de la división: D = d · c + r
En la división del ejemplo: 29 = 4 · 7 + 1
Esta
igualdad fundamental de la división es la propiedad que se utiliza para
realizar la prueba de la división: multiplicamos el divisor por el
cociente y le sumamos el resto. Si el resultado es igual al Dividendo, la
división está bien hecha.
Si
el resto es cero, la división es exacta.
Si el resto es distinto de cero, la división es entera.
[NOTA:
La Real Academia Española en su Diccionario
Panhispánico de Dudas, primera edición, de 2005, define dividir, de la
siguiente manera: “dividir(se).
‘Partir(se) o separar(se) en partes’, ‘repartir o
distribuir’ y, en aritmética, ‘averiguar cuántas veces una cantidad, llamada
dividendo, contiene a otra, llamada divisor’. Con este último sentido, lleva un
complemento introducido por entre o por: «La suma de estos diámetros
nos da 78; esto lo dividimos entre
2 y nos sale 39» (Díaz Bosque [Méx. 1982]); «Sume luego todos los
puntos y divida por once» (Abc
[Esp.] 12.7.89).” De lo cual deduzco que, por ejemplo, 24:8 se puede leer como
24 dividido entre 8 y como 24 dividido por 8.]
Jerarquía de las operaciones: Cuando haya varias operaciones seguidas se han de
realizar en el siguiente orden:
1º Paréntesis
2º Multiplicaciones y divisiones
3º Sumas y restas
Si
las operaciones tienen la misma jerarquía (por ej., sumas y restas o
multiplicaciones y divisiones), se realizan por orden, de izquierda a derecha.
3
+ 2 · 4 = 3 + 8 = 11 (3 + 2) ·
4 = 5 · 4 = 20 16 :
2 · 4 = 32
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