TEMA 3: LOS NÚMEROS ENTEROS
Números Naturales y Enteros:
Números naturales:
Conjunto de números desde el 0 hasta el infinito.
0, 1, 2, 3, ...
El
conjunto de los números naturales
se representa con la letra N
Números enteros: Conjunto de números negativos y positivos: desde el menos
infinito hasta el más infinito:
… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
El
conjunto de los números enteros
se representa con la letra Z
En
el conjunto de los números enteros están incluidos los naturales.
Representación gráfica de los números enteros:
Los
números enteros se pueden representar en una recta numérica marcando la
posición del cero y haciendo divisiones iguales hacia la izquierda y hacia la
derecha. Cada división representa un número. A la izquierda del cero pondremos
los negativos y a la derecha del cero, los positivos. Los números que en la
recta quedan a la izquierda son menores que los que quedan a la derecha.
Naturales
+ negativos = números enteros.
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-5
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-4
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-3
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-2
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-1
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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Valor absoluto de un número entero: Es el valor que tiene un número sin el signo. Se
representa con dos rayitas verticales enmarcando al número.
|5| = 5 |-3|
= 3
Opuesto de un número: El opuesto de un número entero es otro número entero
con el mismo valor absoluto, pero distinto signo.
Op de 3 = -3 Op
de (-5) = 5
Si sumamos un número con su
opuesto, el resultado es cero.
3 + (-3) = 0
Comparación (ordenación) de números enteros:
a)
Si los dos son positivos,
es mayor el que tenga mayor valor absoluto.
4 > 3, 7 > 2, 1 < 6
b)
Si son de distinto signo,
es mayor el positivo.
3 > (-5), 7 > (-1) -6 < 2
c)
Si los dos son negativos
es mayor el que tenga menor valor absoluto (el que esté más a la derecha
en la recta numérica).
-2 > (-5), -4 > (-8) -6 < (-1)
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
En primer lugar, recordamos que los número negativos se escriben con el signo menos delante
(-5) y que el signo + de los números positivos no
se escribe (+5 = 5).
Cuando tengamos que realizar
operaciones lo primero que haremos será quitar paréntesis, en el caso de que los hubiera.
Si
delante de un paréntesis
hay un signo + quitamos el signo + y el paréntesis, dejando todos los números que haya dentro con el mismo signo que tuvieran
antes:
3 + (-5) + (-2 - 1) + (4 + 2) = 3 – 5 – 2
– 1 + 4 + 2
Si
delante de un paréntesis
hay un signo - quitamos el signo – y el paréntesis y a todos los números que haya dentro los cambiamos de signo:
2 - (-8) - (3 - 2) - (-4 + 1) = 2 + 8 – 3
+ 2 + 4 - 1
Es práctico asociar la suma y el signo + con: tengo,
gano, me dan… Ej.: 3+5+2 (tengo 3, gano 5 y me dan 2)
Es práctico asociar la resta y el signo - con: debo,
pierdo, me quitan...3-2-4 (tengo 3, pierdo 2 y me quitan 4)
Para sumar y restar, al principio, podemos utilizar la recta
numérica.
SUMAR: Vamos hacia la DERECHA.
(-3 + 5 = 2: desde -3 vamos 5 lugares hacia la
derecha)
RESTAR: Vamos hacia la IZQUIERDA.
(2 - 3 = -1: desde 2 vamos 3 lugares hacia la
izquierda)
Una vez que se ha practicado con la
recta numérica entera, hay que sumar o restar números enteros mentalmente.
Puedes encontrar varias formas de operar, pero la que te propongo aquí creo que
es la más fácil y práctica, tras haberla practicado durante años con mis
alumnos.
SUMAR O RESTAR ENTEROS (Recuerda que primero hay que quitar los paréntesis, si los hubiera):
a) Números precedidos del mismo signo: Se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo que tienen los números.
7 + 8 = 15 -6 + (-7) = -6 – 7 = -13 4 – (-5) = 4 + 5 = 9
b) Números precedidos de distinto signo: Al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto
y se pone el signo del número
que tenga mayor valor absoluto.
4 – 9 = -5 -3 + 7 = 4 8 – 6 = 2 -2 – (-8) = -2 + 8 = 6
Resolución
de operaciones combinadas:
Cuando
haya una sucesión de varias operaciones se pueden resolver de la siguiente
manera:
Primero hay que quitar
paréntesis, si los hubiera:
- Se puede empezar quitando los de dentro
y terminar por el de fuera o, al revés, ir
quitando desde fuera hacia dentro (¡OJO!
con el signo menos).
EJEMPLO: 3 – [4
+ (3 – 1) – (5 – 1)]
Resolvámoslo
empezando desde dentro
hacia fuera:
3 – [4 + (3 – 1) – (5 – 1)] = 3 – (4 + 3 – 1 – 5 + 1) =
3 – 4 – 3 + 1 + 5 – 1 = 1
Resolvámoslo empezando desde fuera hacia dentro:
3 – [4 + (3 – 1) – (5 – 1)]= 3 - 4 - (3 - 1) + (5 - 1) =
3 - 4 - 3 + 1 + 5 - 1 = 1
(No me cansaré de repetirlo:
¡MUCHO CUIDADO CON LOS SIGNOS MENOS!)
- Si no
te indican lo contrario se puede resolver la operación que haya en el
interior del paréntesis.
3
– [4 + (3 – 1) – (5 – 1)] = 3 – (4 + 2 – 4) = 3 – 2 = 1
Cuando
ya no hay paréntesis se pueden sumar de dos maneras:
- Se suman los números precedidos del signo más y
luego los precedidos del signo menos y al resultado de mayor valor absoluto
se le resta el de menor valor absoluto y se pone el signo del de mayor valor
absoluto.
7 - 2 + 3 –
9 = 10 – 11 = -1
- Se suman secuencialmente: el primer
número de la izquierda con el segundo, el resultado con el tercero y así
sucesivamente.
7 - 2 + 3 –
9 = 5 + 3 – 9 = 8 – 9 = -1
Multiplicar y dividir números enteros
Se
multiplican o dividen sus valores
absolutos como los números naturales y para el signo se tienen en cuenta las siguientes reglas:
a) Si los dos signos son iguales, el resultado es positivo.
3
· 4 = 12 -4 · (-3) = 12
12
: 6 = 2 -24 : (-8) = 3
b) Si los dos signos son distintos, el resultado es negativo.
-4
· 5 = -20 54 : (-6) = -9
Cuadro con la regla de los signos (es válido para la multiplicación y para la división):
|
+
|
-
|
+
|
+
|
-
|
-
|
-
|
+
|
Operaciones combinadas con sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones: Cuando
tenemos que realizar operaciones combinadas hay que respetar la jerarquía de las operaciones:
primero se trabajan los paréntesis (quitándolos o resolviéndolos)
en segundo lugar se realizan los productos y divisiones
y, para terminar, sumas y restas.
En operaciones con la misma
jerarquía se empieza por la izquierda.
7 - 2 · [5 – 2 · (3 – 7)] – 9 :
(-3) = 7 - 2 · [5 – 2 · (-4)] – 9 : (-3) =
= 7 - 2 · (5 + 8) – 9 : (-3) = 7 -
2 · 13 – 9 : (-3) = 7 - 26 – 9 : (-3) = 7 - 26 + 3 = - 16
(Nota: Cuando hay varios paréntesis
anidados, sólo lleva el signo del paréntesis el de dentro, los demás se
sustituyen por corchetes)
me gustó mucho, me sirvió para comprenderlo todo mejor. Gracias :)
ResponderEliminara mi me a ayudado un montón eres muy majo ;)
ResponderEliminargracias:)
ResponderEliminarMuy bien explicado. Graciasss!!!
ResponderEliminargracias pibe
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