TEMA 2: FRACCIONES Y DECIMALES
Fracción:
Una
fracción consta de dos números enteros dispuestos de esta forma:
a es el numerador
e indica las partes que se toman.
b es el denominador
e indica las partes en que se divide la unidad (b distinto de cero).
Así,
por ejemplo, en la fracción
el denominador, 4, indica que la unidad se divide en 4
partes iguales y de ellas se toman las que indica el numerador, 3 .
Significados de una fracción:
a) Como una parte de la unidad: Se
divide a la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y se
toman las partes que indique el numerador.
b) Como una división: El numerador es
el dividendo y el denominador es el divisor.
c) Como un operador: Cuando hay que
hallar la fracción de un número, se multiplica la fracción por el número (se
multiplica el numerador por el número y se divide el resultado entre el
denominador).
Clases de
fracciones:
a) PROPIA: Si el numerador es menor que el
denominador (a < b):
b) IMPROPIA: Si el numerador es mayor que el denominador (a > b):
b) IMPROPIA: Si el numerador es mayor que el denominador (a > b):
(Las calculadoras suelen representar este tipo de fracciones como un número mixto
Signo de una fracción: Como la fracción es una división,
a) Si los dos términos tienen el mismo signo, el resultado
es positivo.
b) Si los dos términos tienen distinto signo, el
resultado es negativo.
Si una
fracción es negativa, el signo
menos se escribe delante de la fracción y nunca en el numerador ni
mucho menos en el denominador.
Fracciones equivalentes:
Cómo saber si dos fracciones son equivalentes:
b) Comparando si son iguales los
productos cruzados.
(Nota: dos fracciones iguales constituyen una proporción, por lo que podríamos haber enunciado el apartado b) de la siguiente manera: dos fracciones son equivalentes si el producto de extremos es igual al producto de medios)
[(Otras
formas de saber si dos fracciones son equivalentes:
-
Si al multiplicar una por la inversa de la otra, el resultado es 1.
-
Si al reducirlas a común denominador, son iguales.
-
Si ambas tienen la misma fracción irreducible (porque, en realidad, son el
mismo nº racional)]
Cómo obtener fracciones equivalentes.
a) Por amplificación: Multiplicando a
los dos términos de la fracción por un mismo número.
b) Por simplificación: Dividiendo, si se
puede, a los dos términos de la fracción por un mismo número.
Si
una fracción no se puede simplificar se llama IRREDUCIBLE. Para obtener una fracción
irreducible se dividen el numerador y el denominador por el mcd de ambos.
[Propiedad fundamental: si a los dos
términos de una fracción se les multiplica o divide por un mismo número resulta
una fracción equivalente].
Reducir fracciones a común denominador: Se trata de obtener fracciones equivalentes a las
dadas, cuyos denominadores
sean el mínimo común múltiplo de los denominadores primeros y los
numeradores se obtengan dividiendo el denominador común entre cada denominador
inicial y multiplicando el resultado por
su correspondiente numerador.
EJEMPLO: Reduce estas fracciones a otras dos con el mismo
denominador:
La
reducción de fracciones a común denominador se utiliza para comparar fracciones y para sumarlas y restarlas.
Comparar fracciones:
a) Fracciones
con el mismo denominador: Es mayor la que tenga mayor numerador.
b) Fracciones
con el mismo numerador: Es mayor la que tenga menor denominador.
c) Fracciones
con distinto denominador: Se reducen a común denominador y será mayor aquélla cuya fracción
equivalente tenga mayor numerador.
Para
sumar o restar fracciones se
reducen a común denominador, hallando el mcm de los denominadores,
dividiendo éste (el mcm) entre los denominadores iniciales y multiplicando cada
cociente por el correspondiente numerador. El resultado es una fracción cuyo numerador es la suma o resta de
los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas y cuyo denominador es el mcm de los
denominadores que ya habíamos calculado.
El resultado final siempre se
simplifica, si se puede dividir al numerador y al denominador por un
mismo número hasta obtener la fracción irreducible.
(Recuerda
que la forma elegante, matemáticamente hablando, de obtener la fracción
irreducible es dividiendo al numerador y al denominador por el mcd de ambos).
Si hay
que sumar o restar una
fracción con un entero, se considera al entero como una fracción con
denominador 1.
Producto de fracciones:
Es otra
fracción cuyo numerador
es el producto de los
numeradores y cuyo denominador
es el producto de los
denominadores.
División de fracciones:
Para
dividir fracciones se
multiplica la primera (dividendo) por la inversa de la segunda (divisor).
El resultado final siempre se simplifica
si se puede dividir al numerador y al denominador por un mismo número.
Problemas aritméticos con fracciones
Se
pueden presentar varios casos:
a) La fracción de un número. Para calcular la
fracción de un número se multiplica la fracción por el número.
EJEMPLO: Ángel se gasta
el sábado las 2/3 partes de su paga semanal, que es de 30 €. ¿Cuánto se ha
gastado?
2/3 de 30 = 2/3 · 30 = 20 €
b) Calcular el total sabiendo cuánto es una parte.
EJEMPLO: Pepa se ha
gastado durante el fin de semana 32 €, que constituyen las 2/5 partes de su
paga mensual. ¿A cuánto asciende su paga mensual?
Hasta
que no sepamos ecuaciones, lo más apropiado es resolverlo de la siguiente
manera:
Como
2/5 son 32 €, si yo divido 32:2 obtendré cuánto es 1/5, o sea, 16 €.
Para
saber el total, que son
5/5, bastará con
multiplicar una parte, un quinto, que son 16, por las partes que hay, que son 5
(5/5): 16 · 5 = 80 €.
c) Cálculo de la fracción restante. Cuando te
facilitan en forma de fracción lo utilizado y te preguntan por la fracción que
resta, hay que proceder de la siguiente manera: a la unidad, que sería el total y se representa con una fracción con el mismo numerador y
denominador que el denominador de la fracción utilizada, se le resta la fracción que te han dado.
EJEMPLO: Si Pepe se ha
comido los 2/7 de una tarta, ¿qué fracción de tarta queda?
A la unidad, que es el total y en este caso
serían 7/7, se le resta
2/7 y obtenemos que quedan 5/7.
7/7 - 2/7 = 5/7
d) Fracción de una fracción restante.
EJEMPLO: Ana se gasta el
sábado 1/5 de su paga mensual y el domingo se gasta 2/3 de lo que le quedaba.
Si aún tiene 16 €, ¿cuál era su paga mensual?
Primero
hay que calcular qué fracción
le queda el sábado. Para ello restamos el total, 5/5, menos lo gastado:
5/5 – 1/5 = 4/5.
5/5 - 1/5 = 4/5
También
calculamos lo gastado el
domingo, que serán 2/3
de 4/5, multiplicando 2/3 · 4/5, lo que nos da 8/15.
2/3 · 4/5 = 8/15
¡OJO!
Ahora hay que calcular, en
forma de fracción, cuánto
suma lo gastado el sábado y el domingo: 1/5 + 8/15 = 11/15.
1/5 + 8/15 = 11/15
Como
el problema nos dice lo que le queda, que son 16 €, habremos de hallar qué fracción le queda,
restándole al total, 15/15, lo gastado: 15/15 – 11/15 = 4/15.
15/15 - 11/15 = 4/15
Si
4/15, que es lo que le queda, nos dice el enunciado del problema que son 16 €, dividiendo 16:4 sabremos cuánto es
1/15, o sea, 4 €.
16 : 4 = 15
El
total, esto es 15/15, lo obtendremos multiplicando lo que es una parte, 1/15,
que hemos calculado que es 4, por las partes que hay, que son 15 (15/15)
4 · 15 = 60 €.
NÚMEROS DECIMALES: Son los que están compuestos por una parte entera y otra parte decimal, menor que la
unidad, separadas por una coma.
Se obtienen de las fracciones,
al dividir el numerador entre el denominador.
Órdenes de unidades en los números decimales:
Unidad – décima – centésima –
milésima – diezmilésima – cienmilésima – millonésima...
Las
décimas se obtienen al dividir la unidad entera en 10 partes iguales.
1 : 10 = 0,1
Las
céntesimas se obtienen
al dividir la unidad
entera en 100 partes
iguales.
1 : 100 = 0,01
Las
milésimas se obtienen
al dividir la unidad
entera en 1.000 partes
iguales.
1 : 1000 = 0,001
Y
así seguiríamos con los demás órdenes de unidades decimales.
[Los símbolos de las
unidades decimales son: d (décimas), c (centésimas), m (milésimas), dm
(diezmilésimas), cm (cienmilésimas). A partir de aquí, es muy difícil encontrar
información sobre el símbolo de las millonésimas (Hay quien escribe M, otros
ponen una rayita encima de una m minúscula...); yo me inclino por utilizar mm para las
millonésimas. De todas formas, a nivel escolar estas unidades tan pequeñas no
se utilizan e, incluso, la
simbolización de las unidades decimales da lugar a confusión: por
ejemplo,¿ m qué significa, metro o milésima? Evidentemente, la m siempre será
metro; sólo utilizaremos m como milésima en el estudio escolar de los números
decimales. Lo mismo podemos decir de dm (decímetro), cm (centímetro), mm
(milímetro), etc. Estas unidades decimales de pequeño valor sí se utilizan a nivel científico,
pero aquí los símbolos están determinados por el Sistema Internacional de Unidades y están referidos
a potencias de 10. Así, la millonésima es 10-6 unidades y el prefijo
de 10-6 es micro y su símbolo es µ, que es la m griega minúscula]
Operaciones con números
decimales:
Suma y resta de números
decimales: Hay que
colocar las comas una debajo
de otra para que coincidan los diversos órdenes de unidades de cada
sumando (unidades con unidades, décimas con décimas, etc). Se suman o restan, empezando
por la derecha, como si fueran
números naturales, sin olvidarnos de escribir la coma cuando lleguemos
a ella.
En
la resta, si el número
de cifras decimales del
minuendo (el de arriba) fuera menor que el de las del sustraendo, se añaden los ceros necesarios hasta igualar el
número de cifras. (¡Ojo!
con estos ceros del minuendo, no
nos olvidemos de tratarlos como dieces.)
Ejemplo: 37,85 – 6,934 =
30,916
Si
en una resta el minuendo es menor que el sustraendo,
se le resta al sustraendo el
minuendo y al resultado se le pone el signo menos.
Ejemplo: 6,934 – 37,85 = - 30,916
Multiplicación de números decimales: Para multiplicar números decimales se colocan las cantidades una
debajo de la otra, de tal forma que estén alineadas por la derecha. Se multiplican como si
fueran números naturales y en el resultado se separan por la derecha con la
coma tantos números como cifras decimales sumen entre el multiplicando y el
multiplicador.
Ejemplo: 237,8 · 6,09 =
1448,202
¿Cómo se multiplica un número por
la unidad seguida de ceros? Para
multiplicar un número por la unidad seguida de ceros se recorre la coma hacia
la derecha
tantos lugares como ceros acompañen a la unidad y, si no hubiere cifras
suficientes, se añaden los ceros necesarios.
3,7 · 100 = 370
División de números decimales:
a) Sacar
decimales: Cuando se han terminado de
dividir todas las cifras enteras del dividendo se baja un cero, se pone una
coma en el cociente y se continúa dividiendo. (Sólo pediremos dos decimales)
Ejemplo: 3789 : 46 = 82,36
b) Decimales
en el Dividendo: Se divide como si se
tratara de números naturales y cuando
se baje la primera cifra decimal se pone una coma en el cociente y se
continúa dividiendo.
Ejemplo: 654,87 : 34 = 19,26
c) Decimales
en el divisor o en ambos términos (Dividendo y divisor): Quitamos
los decimales del divisor multiplicándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales
haya en el divisor. Para que el cociente no varíe hemos de multiplicar al Dividendo por lo
mismo que al divisor. [¡Ojo!, el resto sí varía: queda multiplicado por
lo que hayamos multiplicado al Dividendo].
Ejemplo:
367,47 : 8,7 = 42,23
(Nota:
Al hacer la división, las comas rojas no existen, porque desaparecen al
multiplicar el Dividendo y el divisor por 100. El problema consiste en realizar la prueba de la división
para comprobar si está bien hecha. Sabemos que el cociente por el divisor más
el resto nos tiene que dar el Dividendo.
Pero, ¿por qué divisor multiplicamos al cociente, qué resto le sumamos y en qué
Dividendo nos fijamos para el resultado? Si tomamos como divisor 8,7, el
original, el Dividendo que tenemos que comprobar es el original, 367,47, pero
¿qué resto? Para sacar decimales en el cociente hemos añadido dos ceros al
Dividendo, luego tenemos que dividir al resto por 100, con lo que se nos queda
en 690/100=6,9, pero en la división también teníamos el Dividendo multiplicado
por 100, por lo que también hemos de dividir al resto por 100: 6,9/100 = 0,069.
Así que: 8,7 x 42,23 + 0,069 = 367,47. También podemos tomar como divisor no el
original, sino el que hemos utilizado en la división: 870. En este caso, el
Dividendo que tenemos que comprobar es el transformado en la división: 36747.
¿Y el resto? Como para sacar decimales en el cociente hemos bajado dos ceros al
final del Dividendo, tenemos que dividir el resto entre 100: 690/100 = 6,9. Por
lo tanto: 870 x 42,23 + 6,9 = 36747. De todas formas, creo que es menos
complicado este otro
razonamiento: Ya ha quedado claro que si al cociente lo multiplicamos
por el divisor original, el Dividendo que hemos de obtener también será el
original y si al cociente lo multiplicamos por el divisor de la división, esto
es sin coma, el Dividendo a obtener también será el de la división, esto es sin
coma. ¿Qué resto utilizar? Muy fácil: bajamos en línea recta la coma del Dividendo
hasta llegar a la línea del resto y eso n os dirá cuántos decimales tiene el
resto. Así, en la división que nos
ocupa, si queremos comprobar el Dividendo original, la coma baja hasta abajo y
el resto es 0,069. Si, en cambio, queremos comprobar el Dividendo transformado,
bajamos la coma y se nos sitúa entre el 6 y el 9 del resto, con lo que éste es
6,9. Esto es válido para cualquier división, no sólo cuando hay decimales en
ambos términos).
¿Cómo se divide un número por la
unidad seguida de ceros? Para dividir
un número por la unidad seguida de ceros se recorre la coma hacia la izquierda tantos
lugares como ceros acompañen a la unidad y si no hubiere cifras suficientes se
añaden los ceros necesarios.
6,9 : 100 = 0,069.
Redondeo de números: Redondear un número es obtener una aproximación del mismo eliminando cifras por la derecha que
no aporten una información significativa. Para ello, la última cifra que
dejemos se aumenta en uno si le seguía una cifra mayor que 4.
Ej.:
37,59487, redondeando a las décimas se queda en 37,6
Ej.:
4,87461, redondeando a las centésimas se queda en 4,87
El
redondeo se utiliza, entre otras aplicaciones, para estimar operaciones con decimales, redondeándolos a las
unidades.
(¿Hasta dónde se redondea? Normalmente, te lo suelen indicar. Por ejemplo: redondea hasta
las décimas este número: 37,825. En este caso, hay que dejar la cifra de las
décimas y desechar las otras por la derecha: 37,8. Si en este ejemplo te
hubieran dicho: redondea hasta las centésimas, la cifra a dejar sería la de las
centésimas: 37,83. Hay
situaciones en las que quien redondea es uno mismo, sin que nadie le
diga hasta dónde ha de redondear. El redondeo a utilizar dependerá del numero en cuestión y de otras
circunstancias personales y sociales. Por ejemplo, si le has echado el
ojo a un teléfono móvil de 687,5 € y tu padre, que es el que lo va a pagar, te
pregunta que cuánto tendrá que desembolsar, tú le redondeas a las unidades y le
dices que 688 €. Pero si quien te pregunta cuánto te ha costado es tu amiguete,
tú, para fardar, redondeas a las centenas y le dices que 700 €. Otro ejemplo:
si alguien te pregunta cuánto ha costado tu casa de 273.458 €, lo más corriente
es redondear hasta las decenas de millar: 270.000 €. Para terminar, un ejemplo
que estarás utilizando toda la vida: la velocidad de la luz es de 299 792 458
m/s y en todos los manuales ponen 300 000 km/s, redondeando hasta la cifra de
las centenas de millón y cambiando la unidad de metros a kilómetros).
Clasificación de los números decimales:
Los
números decimales se
originan de una fracción, al dividir el numerador entre el
denominador.
Al
realizar la división entre los términos de una fracción, el cociente puede ser:
a) Un número entero y no hay cifras decimales.
Originados por una fracción decimal,
cuyo denominador es la unidad seguida de ceros (el denominador de la fracción
irreducible sólo tiene como
factores al 2 y/o al 5). (las fracciones no decimales se llaman ordinarias).
(Si
la fracción decimal es la que tiene como denominador a la unidad seguida de
ceros, ¿por qué la fracción 7/2 es decimal si no tiene como denominador a la
unidad seguida de ceros? Porque se la puede transformar en 35/10. Por eso, la
fracción decimal es la que sólo tiene en el denominador de su fracción
irreducible a los factores 2 y/o al 5, porque multiplicando al denominador por
2 o por 5 se obtiene la unidad seguida de ceros. ¿Qué ocurriría si los factores
del denominador fueran 2 y 3, como por ejemplo, que hubiera un 6 en el
denominador? Pues que por mucho que multipliquemos o dividamos al denominador
jamás obtendremos la unidad seguida de ceros. Recuerda que la unidad seguida de
ceros tiene la siguiente descomposición factorial: 2n · 5n
)
c) Un número decimal periódico puro, con un
número de cifras decimales
(período) que se repiten infinitamente después de la coma.
El
denominador de la
fracción irreducible no tiene
como factores ni al 2 ni al 5.
d) Un número decimal periódico mixto, con
cifras decimales delante del
período (anteperíodo) que no se repiten.
(En este número decimal
periódico mixto la parte entera es 0, el anteperíodo es 1 y el período es 6)
El
denominador de la
fracción irreducible tiene más
factores que el 2 y/o el 5.
Fracción generatriz de un número decimal
Todo
número decimal exacto o periódico se puede transformar en la fracción que lo ha
generado (fracción generatriz).
Veamos los diferentes casos:
a) Decimal finito (o exacto): El numerador es el número completo, sin la coma.
El denominador es la unidad seguida de tantos ceros como
cifras decimales tenga el número decimal. Se simplifica la facción, si
se puede.
Los
factores primos del
denominador son sólo 2 y/o 5.
b) Decimal periódico puro: El numerador es el número completo, sin la coma, menos
el número sin el período. El denominador está formado por tantos nueves como cifras tenga la parte periódica.
(En los factores primos del denominador no hay ni 2 ni 5)
c) Decimal periódico mixto: El numerador es el número completo, sin la coma, menos
el número sin el período. El denominador está formado por tantos nueves como cifras tenga la parte periódica
seguidos de tantos ceros como
cifras tenga la parte decimal no periódica (o sea, el anteperíodo).
(Entre los factores primos del denominador hay algún 2 ó 5)
Números Racionales:
Todos
los números estudiados hasta ahora: naturales, enteros y fracciones se engloban
en un conjunto llamado NÚMEROS
RACIONALES, de la forma
(con b distinto de cero)
(Nota:
Si la b fuera igual a cero, tendríamos un verdadero problema para dividir 7,
por ejemplo, entre cero. En cursos posteriores te enseñarán a resolver este
tipo de problemas, como el de tener un cero en el denominador)
El
conjunto de los números racionales se representa con la letra Q (letra inicial de "quotient", palabra que en varios idiomas
europeos -inglés, francés, alemán...- significa "cociente").
Un número
racional es un conjunto de fracciones equivalentes y se representa con la
fracción irreducible.
Hay
números decimales que no son
originados por fracciones. Estos números tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Se
llaman IRRACIONALES.
guay
ResponderEliminarMuchas gracias por este resumen - esquema, le ha ayudado mucho a mi hijo
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