1º ESO. Tema 8: PROPORCIONALIDAD

1º DE ESO. TEMA 8: PROPORCIONALIDAD

PROGRAMACIÓN

Ses.	Metodología
1ª / 2ª	- Explicar conceptos de propocionalidad: razón, proporción, propiedad fundamental, cuarto proporcional y medio proporc. - Ejercicios pág.
3ª / 4ª	- Corregir sesión anterior - Proporcionalidad directa. Regla de tres directa. - Ejercicios pág.
5ª / 6ª	- Corregir sesión anterior. - Proporcionalidad inversa. Regla de tres inversa. - Ejercicios pág.
7ª /	- Corregir sesión anterior. - Repasar regla de tres directa e inversa. - Ejercicios pág.
8ª /	- Corregir sesión anterior. - Explicar concepto de porcentaje como fracción y regla de tres. - Ejercicios pág.
9ª /	- Corregir sesión anterior. - Explicar cálculo de aumentos y disminuciones porcentuales. - Ejercicios pág.
10ª /	- Corregir sesión anterior - Repaso y estudio.
11ª	- CONTROL

DESARROLLO DEL TEMA

TEMA 8: PROPORCIONALIDAD

Magnitudes directamente proporcionales: Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Ej.: El peso y el precio. Si aumentamos el peso de un producto el doble, el triple, etc., su precio también aumenta el doble, el triple, etc. Podemos construir una tabla de valores:

Entre los términos correspondientes de las dos magnitudes de esta tabla se establece una proporcionalidad de la siguiente manera:

Cada una de estas fracciones se llama razón y al término que está arriba se le llama antecedente y al que está abajo, consecuente.

[La razón se diferencia de la fracción en que los términos de la primera pueden ser decimales, mientras que los de la fracción han de ser enteros].

Constante de proporcionalidad directa: Es el número que se obtiene al dividir el antecedente entre el consecuente de cualquiera de las razones que se forman entre dos magnitudes directamente proporcionales.

Así, en el ejemplo de arriba, la constante de proporcionalidad del peso con respecto al precio es 0,3 (con el 3 como período), resultado de dividir 1 entre 3 ó 2 entre 6 ó 3 entre 9, etc.

[Se utiliza para calcular el término desconocido de una magnitud multiplicando el término correspondiente conocido de la otra magnitud por la constante de proporcionalidad. Así, por ejemplo, en las razones 1/3 = 2/6 = 3/9 la constante de proporcionalidad del peso con respecto al precio es 0,3 e indica que el peso está en razón 1/3, esto es 0,3, y significa que hay que multiplicar el precio por la constante de proporcionalidad, por 0,3, para obtener el peso correspondiente, porque a 1 € le corresponde 0,3 kg y, por eso, a la cantidad 3 € la multiplico por 0,3 y obtengo el peso correspondiente, 1 kg. Pero también podemos interpretar la razón del precio con respecto al peso, en cuyo caso las razones serían 3/1 = 6/2 = 12/4, etc. Ahora la constante de proporcionalidad sería 3 y significaría que hay que multiplicar 3 por el peso para obtener el precio. Por ejemplo, si la cantidad 4 kg la multiplico por 3 obtengo 12 €, que es la cantidad correspondiente a la segunda magnitud, los euros. Esto quiere decir que 1 kg cuesta 3 €].

Proporción: Una proporción es la igualdad entre dos razones.

Propiedad fundamental de las proporciones: En una proporción el producto de extremos es igual al producto de medios.

Cuarto proporcional: De los cuatro términos de una proporción, si se desconoce uno de ellos se le llama cuarto proporcional.

Para calcular el cuarto proporcional se utiliza la propiedad fundamental de las proporciones: 4 · x = 12 · 6. Para saber qué número multiplicado por 4 me da 72 tengo que dividir 72 entre 4. Por lo tanto:

Proporción continua: La que tiene sus medios o sus extremos iguales.

Para calcular el medio proporcional se utiliza la propiedad fundamental de las proporciones:

Problemas de proporcionalidad directa (Regla de Tres)

Problema.: Si 3 kg de naranjas cuestan 4,5 €, ¿cuánto cuestan 4 kg?

a) Resolución por Reducción a la unidad: Se trata de hallar cuánto vale 1 kg de naranjas y luego se multiplica por 4.

4,5 : 3 = 1,5 € (1 kg cuesta 1,5 €) 1,5 · 4 = 6 €

[Se trata de calcular el término de la segunda magnitud que corresponde a una unidad de la primera, dividiendo el término dado de la segunda magnitud entre el dado de la primera, y después se multiplica por las unidades que te pidan.] [En definitiva, hay que calcular la constante de proporcionalidad].

b) Resolución por Regla de tres: Si te dan tres datos y te piden que calcules un cuarto, se forma una proporción con los cuatro y aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones para hallar el término desconocido.

[Se forman dos razones equivalentes, que constituyen una proporción, y aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones (producto de extremos igual a producto de medios) para calcular el término desconocido. Se trata de hallar el cuarto proporcional.]

Magnitudes inversamente proporcionales: Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una disminuye la otra o cuando al disminuir una aumenta la otra. Ej.: Nº de personas y nº de días que les dura una caja de peras. Si aumentamos el número de personas el doble, el triple, etc., disminuye el número de días la mitad, el tercio, etc. Podemos construir una tabla de valores:

Constante de proporcionalidad inversa: Es el número que se obtiene multiplicando dos términos correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales.

Así, en el ejemplo de arriba la constante de proporcionalidad es 48, que se obtiene al multiplicar 1 por 48 ó 2 por 24 ó 3 por 16, etc.

[Se utiliza para calcular el término desconocido de una magnitud dividiendo la constante de proporcionalidad entre el término correspondiente de la otra magnitud. Así, por ejemplo, en la tabla anterior como la constante de proporcionalidad es 48, para saber el número de días que corresponden a 3 personas divido 48 entre 3, obteniendo 16].

Problemas de proporcionalidad inversa

Problema: Para construir un muro 8 obreros necesitan 7 días. ¿Cuánto tiempo tardarán 2 obreros?

a) Resolución por Reducción a la unidad: Se trata de calcular cuántos días tardaría 1 obrero solo. Para ello multiplicamos 8 obreros por 7 días y nos da 56 días, que es el tiempo que necesitaría un obrero solo, y repartimos estos 56 días entre los 2 obreros que hay ahora. 56 : 2 = 28 días.

8 · 7 = 56 días necesitaría 1 obrero.
Como habrá 2 obreros, 56 : 2 = 28 días necesitarán

[Se trata de calcular el término de la segunda magnitud que corresponde a una unidad de la primera, multiplicando el término dado de la segunda magnitud por el término que nos dan de la primera (7·8=56) y el resultado se divide entre las unidades de la primera magnitud que te pidan]. [En definitiva, hay que calcular la constante de proporcionalidad].

b) Resolución por Regla de tres: Si te dan tres datos y te piden que calcules un cuarto, hay que formar dos razones equivalentes (o sea, una proporción), pero cuidando de invertir [antecedente por consecuente y viceversa] la razón de la magnitud que no tenga la incógnita. Luego, aplicando la propiedad fundamental de las proporciones [producto de extremos igual a producto de medios], se calcula el valor de la incógnita [Se trata de hallar el cuarto proporcional].

[Antes de nada hay que preguntarse si se trata de un problema de regla de tres inversa o no. En el problema propuesto es evidente que si trabajan menos albañiles tardarán más tiempo, luego se trata de una regla de tres inversa]. [Nota: Es aconsejable escribir una I mayúscula, de Inversa, entre las dos magnitudes relacionadas y rodearla con un círculo de color rojo, con el fin de no despistarnos y recordar que es inversa]

PORCENTAJES:

El porcentaje de una cantidad significa las partes que tomaríamos de esa cantidad si la dividiéramos en 100 partes iguales. Así, por ejemplo, el 4 % de 50 es la cantidad que resulta al dividir 50 en 100 partes iguales y de estas cien partes tomar 4 (haciendo los cálculos, el 4 % de 50 es 2).

Cálculo de porcentajes:

a) El porcentaje como fracción: Para calcular el porcentaje de algo se opera como si fuera la fracción centésima de ese algo.

b) El porcentaje como regla de tres: Si consideramos el porcentaje como una regla de tres, ponemos dos columnas y colocamos los datos que nos den en dos filas, interpretándolos adecuadamente.

Ejemplo: Calcular el 4 % de 50.

Ejemplo (Calcular una cantidad conociendo el porcentaje): El 15 % de una cantidad es 9. ¿Cuál es esa cantidad?

Aumentos porcentuales: Para resolver los problemas de aumentos porcentuales se puede proceder de dos maneras:

Ejemplo: Un frigorífico de 430 € lo han subido el 10 %. ¿Cuánto cuesta ahora?

a) Se calcula el porcentaje de aumento y se suma a la cantidad inicial.

b) Se puede calcular por regla de tres de la siguiente manera (Si algo aumenta el 10 % quiere decir que si costaba 100 ahora costará 110):

Disminuciones porcentuales: Para resolver los problemas de disminuciones porcentuales se puede proceder de dos maneras:

Ejemplo: Un frigorífico de 430 € lo han rebajado el 10 %. ¿Cuánto cuesta ahora?

a) Se calcula el porcentaje de descuento y se resta a la cantidad inicial.

b) Se puede calcular por regla de tres de la siguiente manera (Si algo disminuye el 10 % quiere decir que si costaba 100 ahora costará 90):

Aumentos y disminuciones porcentuales con calculadora: Para calcular con calculadora cuánto me costará algo que ha subido o disminuido, por ejemplo, un 8 % se multiplica la cantidad inicial por 1,08 (1 + 0,08), si ha aumentado, o por 0,92 (1 – 0,08) si ha disminuido.

Ejemplo: Un señor cobra 1300 € mensuales y le han subido un 8 %. ¿Cuánto cobrará ahora?

1300 · 1,08 = 1404 €

Ejemplo: Un vestido de 350 € lo han rebajado un 8 %. ¿Cuánto cuesta ahora?

350 · 0,92 = 322 €