TEMA 10: FUNCIONES Y GRÁFICAS
DESARROLLO DEL TEMA
EJES DE COORDENADAS CARTESIANAS
Son dos líneas rectas perpendiculares que se utilizan para representaciones gráficas de puntos y de líneas.
[Se llaman coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (Renatus Cartesius, en latín), filósofo, matemático (considerado como el creador de la geometría analítica, que se verá en cursos posteriores) y físico francés. Nació el 1596 en La Haye, actual Descartes, (Francia) y murió el 1650 en Estocolmo (Suecia). De él es la célebre frase “Cogito, ergo sum”, traducción del francés “Je pense, donc je suis” (Pienso, luego existo). Esta frase se encuentra en su libro “Discours de la methode” (1637). El título completo es: « Discours de la methode pour bien conduire sa raison & chercher la verité dans les sciences. Plus la Dioptrique , les Meteores et la Geometrie, qui sont des essais de cette methode ». (Discurso del método para dirigir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias. Más la Dióptrica, los Meteoros y la Geometría, que son ensayos de este método). Es en este último ensayo, el de Geometría, en donde habla de la relación entre el álgebra y la geometría, utilizando los ejes de coordenadas. Esta obra la escribió en francés, y no en latín, que era el lenguaje en el que se escribían los libros en aquella época].
Un punto se representa por dos números (coordenadas) separados por una coma (x , y). El primer número, x, indica la situación del punto en el eje de las X (abscisas) y el segundo, y, corresponde a su situación en el eje de las Y (ordenadas). Así, por ejemplo, los puntos:
A(3, 1), B(-4, 2), C(-2, -3), D(4, -2).
Gráfica: Cuando en unos ejes de coordenadas cartesianas se representan varios puntos se obtiene una gráfica.
Variables en una gráfica: Los datos de las magnitudes que se representan en una gráfica se llaman variables y reciben los nombres de:
- Variable independiente: Se representa por la x en el eje de abscisas (en el eje X) y puede tomar cualquier valor. Si este valor sólo son números enteros, la variable independiente se llama discreta. En cambio, si puede tomar cualquier valor, la variable independiente recibe el nombre de continua.
- Variable dependiente: Se representa por la y en el eje de ordenadas (en el eje Y) y su valor depende de lo que valga la x (se dice que y es función de x).
Función:
Una función relaciona dos variables:
x (variable independiente) e
y (variable dependiente). (El valor de la y es función de lo que valga x, depende de x).
y = 3x – 5
Una función asocia a cada valor de x un único valor de y. Así, por ejemplo, en la gráfica de aquí abajo, para x = 3 sólo tenemos un valor de y, que es y = 1.
La siguiente gráfica no es una función, porque a cada valor de x le corresponden varios de y. Así, por ejemplo, para x = -2,5 hay tres valores de y: 4,5, 0 y -4,5.
Las funciones se representan en ejes de coordenadas cartesianas mediante una gráfica. [Al relacionar la variable dependiente, y, con la variable independiente, x, se van obteniendo puntos con dos coordenadas: la x (abscisa) y la y (ordenada). Uniendo estos puntos se origina una gráfica. Si la variable independiente es discreta, la gráfica será de puntos. Si la variable independiente es continua, la gráfica se representa con líneas].
La función es creciente si la gráfica sube, al recorrerla de izquierda a derecha.
La función es decreciente, si la gráfica baja, al recorrerla de izquierda a derecha.
La forma en que están relacionadas las variables x, y nos lo dice la ecuación de la función, como p. ej., y = 2x, significa que el valor de y es el doble del de x.
Para representar gráficamente una función se confecciona una tabla de valores. [De esta forma se obtendrán algunos puntos que nos permitirán dibujar la gráfica. Para ello, damos a la x, variable independiente, los valores que queramos. Aunque, al ser la gráfica una línea recta, serían suficientes dos valores, yo aconsejo, en principio, dar cinco valores enteros consecutivos: dos negativos, el cero y dos positivos. De esta forma, incluso, se pueden apreciar interesantes relaciones en los valores que va tomando la y relacionados con la pendiente. Estos cinco pares de valores obtenidos se trasladan a los ejes cartesianos y tendremos los puntos por donde pasará la gráfica]
Ejemplo: y = 2x
Función lineal o de proporcionalidad directa: y = mx
Se llama función de proporcionalidad la que relaciona dos variables directamente proporcionales. Su fórmula general (su ecuación) es:
y = mx (con m distinto de cero)
y = 2x
Su representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0).
La m es la constante de proporcionalidad y se llama PENDIENTE DE LA RECTA.
La pendiente m nos indica la inclinación que tiene la recta, es decir su crecimiento.
- si m es positiva, la recta crece. Ejemplo: y = 2x
- si m es negativa, la recta decrece. Ejemplo: y = -2x
Cuanto mayor sea el valor absoluto de m mayor será el crecimiento o decrecimiento, es decir, la inclinación (pendiente) de la recta. [Así, por ejemplo, con una m de bajo valor absoluto (p. ej., m = 1/5) se obtiene una recta con poca inclinación (poca pendiente), porque cuando la x avanza 1, desde el 0 al 1, la y sube 1/5, desde el 0 al 1/5, ó cuando la x avanza 5, desde el 0 al 5, la y sube 1, desde 0 al 1:
Por el contrario, con una m de alto valor absoluto (p. ej., m = 5) se obtiene una recta con mucha inclinación (mucha pendiente), porque cuando la x avanza 1, desde el 0 al 1, la y sube 5, desde el 0 al 5, ó cuando la x avanza 5, desde el 0 al 5, la y sube 25, desde el 0 al 25:
Si la m fuera negativa, cuanto mayor fuera su valor absoluto mayor sería su decrecimiento, su pendiente, acercándose al eje de las Y (ordenadas) y separándose de las ejes de las X (abscisas)].
¿Cómo hallar la ecuación de una gráfica de una función de proporcionalidad?: Primero hemos de comprobar que es una función de proporcionalidad directa y, por lo tanto, la gráfica pasa por el punto (0,0) y su ecuación será de la forma y = mx. De esta fórmula despejamos la m, pasando la x al otro miembro como divisor, y nos queda:
Para hallar la m, lo más apropiado es buscar un punto en que se vea bien claro que sus coordenadas son números enteros.
Una vez calculada la m, la ecuación de la función será:
y = mx.
Ejemplo: En el gráfico siguiente vemos que la recta pasa claramente por el punto P(2, 4). Es una función de proporcionalidad, porque pasa por el punto (0, 0), y su ecuación es y = mx. En el punto P se cumple que 4 = m · 2. De aquí despejamos la m y nos queda
m = 2
Por lo tanto, la ecuación de la recta representada aquí abajo es
y = 2x
La función afín: y = mx + n
Una función afín es aquélla cuya fórmula general (ecuación) es
y = mx + n
(con m y n distintas de cero)
Su representación gráfica es una recta de pendiente m, que no pasa por el origen de coordenadas, sino que corta al eje Y (ordenadas) en el punto (0 , n).
La n se llama ordenada en el origen y es por donde corta la recta al eje Y (ordenadas).
Dos funciones que tengan la m igual son paralelas. [Son perpendiculares cuando la pendiente de una es la inversa de la opuesta de la otra: -1/m]
Si la n es 0, tenemos una función de proporcionalidad y = mx
Ejemplo: y = 2x – 1
¿Cómo hallar la ecuación de una gráfica de una función afín?: Primero vemos cuál es el valor de la ordenada en el origen (el punto por donde la gráfica corta al eje Y), que será la n de la ecuación, y luego escogemos un punto P de la gráfica que tenga coordenadas enteras (xp, yp), con lo que calcularemos la m:
La ecuación será: y = mx + n
Ejemplo: En la recta de la gráfica de aquí abajo vemos que la ordenada en el origen (por donde la recta corta al eje Y) es n = 1. También se pueden apreciar claramente las coordenadas del punto P (2, 5), por lo que xp = 2 e yp = 5. Sustituyendo en la fórmula de arriba las letras por sus respectivos valores tenemos:
m = 2
Por lo tanto, la ecuación de la función afín de aquí abajo es:
y = 2x + 1
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2). Como la ecuación de la recta será y = mx + n, tendremos que hallar m y n. La m es igual a:
Ejemplo: ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 5)?
Para no confundirnos y hallar la m sin errores es conveniente entretenernos en asignar valores:
x1 = 2; y1 = 1; x2 = 4; y2 = 5.
En la fórmula de arriba sustituimos las letras por sus respectivos valores para hallar la m:
m = 2.
¿Cómo hallamos n?
En la ecuación general y = mx + n sustituimos la m por el valor que acabamos de hallar (2), la y, por la ordenada del punto A (que es y1 = 1) y la x, por la abscisa x del punto A (que es x1 = 2) [podríamos haber utilizado también las coordenadas del punto B, en lugar de las del punto A, y el resultado hubiera sido el mismo], con lo que nos queda:
y = mx + n
1 = 2 · 2 + n
1 = 4 + n
1 – 4 = n
n = -3
Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 1) y B(4, 5) es
y = 2x – 3
La función constante: y=k
Se llama constante porque el valor de y siempre es el mismo, es igual a la constante k y no depende de x. Su fórmula general (su ecuación) es
y = k
Su representación gráfica es una recta paralela al eje X, que corta al eje Y en k.
Si k = 0, entonces estamos ante la ecuación del eje X (el eje de las abscisas).
y = 0
Ejemplo: Dibuja la gráfica de la función y = 3. Como, valga lo que valga la x, la y siempre vale 3, la tabla de valores es muy sencilla y casi no merece la pena escribirla.
También existen ecuaciones de la forma x = k, que son paralelas al eje Y, pero no son funciones, porque para un valor de x hay infinitos valores de y. En particular, la ecuación del eje Y es x = 0.
