TEMA 1: DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS
Múltiplos y divisores:
a es múltiplo de b, o b es divisor de a, si a:b es exacta (resto = 0).
12
es múltiplo de 4, ó 4 es divisor de 12, porque 12:4 = 3 (resto =0).
Los
divisores de un número forman parejas, de tal forma
que el producto de la pareja es el número del que son divisores. Así, p.
ej., 2 y 12 forman una pareja de divisores del 24 (porque 2 x 12 = 24) (El 2 y
el 3 también son divisores de 24, pero no forman una pareja de divisores del
24).
Para
obtener múltiplos de un
número se
multiplica a éste por cualquier otro número.
Todo número es múltiplo de
sí mismo y de la unidad.
Todo número es divisor de
sí mismo.
Todo número tiene como divisor
a la unidad.
Los
múltiplos de un
número son infinitos.
Los divisores
son finitos.
El
cero es múltiplo
de cualquier número, pero divisor de ninguno.
Número compuesto: Es
el que se puede descomponer en un producto de factores (divisores)
distintos al 1 y a él mismo.
12, 18, 20, 60, ...
Número primo: Es el que sólo tiene como factores (divisores) a él
mismo y a la unidad.
2, 3, 5, 7, 11, 13,…
(¡OJO! No nos olvidemos de decir que número primo es
el que sólo tiene como divisores a 1 y a él mismo,
porque si no entra la palabra sólo en la definición, ésta puede ser incorrecta).
El 0 y el 1 no se consideran primos
ni compuestos.
Criterios de divisibilidad: Reglas que nos permiten descubrir, sin efectuar la
división, si un número es divisible por otro.
-
Por 2: Un número es divisible por 2 cuando acaba en 0 ó en cifra par.
8, 20, 346, 5670, 49364
-
Por 3: Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de
tres.
9, 18, 39, 108, 4320, 62736
-
Por 5: Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó en 5.
10, 25, 90, 1550, 4755, 6580, 49365.
-
Por 6: Un número es divisible por 6 cuando lo es a la vez por 2 y por 3.
12, 24, 72, 120
9, 27, 54, 72, 4320
-
Por 11: Un número es divisible por 11 cuando
la suma de las cifras que
ocupan lugar impar menos la suma de las cifras que ocupan
lugar par da cero o múltiplo de 11.
253, 7381.
(Veamos cómo comprobar si el 7381 es múltiplo de 11: Las cifras de este número
ocupan 4 lugares. En el primer lugar está el 1, en el 2º lugar está el 8, en el
3º lugar está el 3 y en el 4º lugar está el 7. Las cifras que ocupan lugares
impares, el 1º y el 3º, son el 1 y el 3, que suman 4. Las cifras que ocupan lugares
pares, el 2º y el 4º, son el 8 y el 7, que suman 15. Restando las dos sumas nos
da: 15 - 4 = 11. Luego el 7381 es múltiplo de 11. ¡OJO! En este criterio de
divisibilidad la resta puede hacerse en los dos sentidos: 15 - 4, que da 11, ó
4 - 15, que da -11, que también es múltiplo de 11. Pero, como todavía no hemos
visto los números enteros y sólo estamos trabajando con los naturales, conviene
restar la menor cantidad de la mayor, para obtener números naturales. Otra
observación: Para saber cuáles son los lugares pares o impares se puede empezar
a contar desde la derecha o desde la izquierda. En nuestro ejemplo, si
empezamos desde la izquierda, los lugares impares estarían ocupados por el 7 y
por el 8, que suman 15, y los lugares pares, por el 3 y por el 1, que suman 4.
Restando tendremos 15 - 4 = 11).
[Además de los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 6, 9 y
11, están los siguientes (para información):
- Por 4: Si termina en dos
ceros o si sus dos últimas cifras son divisibles por 4. También: Si lo es la
suma de las cifras de las unidades y el doble de la de las decenas.
- Por 7: Un número de cinco
cifras DmUmCDU es divisible por 7 cuando U+3D+2C-Um-3Dm es cero o múltiplo de
7. 24.206 à 6 + 3·0 + 2·2 – 4 – 3·2 =
0. También: Si al doble de las unidades le quitamos la parte entera de la
décima parte del número y el resultado es múltiplo de 7. Ej.: 245 (El doble de
5 es 10; la parte entera de la décima parte de 245 es 24; 10 – 24 = -14)
- Por 8: Si termina en tres
ceros o si sus tres últimas cifras son divisibles por 8. También: Si lo es la
suma de las cifras de las unidades más el doble de la de las decenas más el
cuádruple de la de las centenas.
- Por 12: Si lo es por 3 y
por 4 a la
vez.
- Por 13: Un número de
cinco cifras DmUmCDU es divisible por 13 cuando U-3D-4C-Um+3Dm es cero o
múltiplo de 13. 11.427 à 7 – 3·2 – 4·4 – 1 + 3·1 =
-13
- Por 15: Si lo es por 3 y
por 5 a la
vez.
- Por 25: Si termina en dos
ceros, en 25 o en un múltiplo de éste.
- Por 125: Si termina en
tres ceros o si sus tres últimas cifras son múltiplos de 125.]
Ejercicios sobre CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD: Entre los ejercicios que te propongan para trabajar
los criterios de divisibilidad puedes encontrarte algunos semejantes a éstos:
1.- Di si los siguientes números son divisibles por 2, 3,
5, 6, 9 y/o 11:
42,
66, 40, 81, 72, 134, 270, 415, 1210, 426, 4380, 24, 218.
(Nota: Puedes encontrar alguna
respuesta a este ejercicio en este mismo blog, en el tema 2: Divisibilidad, de
1º de ESO).
2.- Sustituye las letras por una cifra para que el número
resultante sea divisible por 6: 30A, 47B, 6C8, 9DE.
Aquí nos encontramos con un
ejercicio que requiere organización y meticulosidad. Veamos uno por uno:
(Antes
de nada, recordemos que para que un número sea divisible por 6 lo ha de ser a
la vez por 2 y por 3, esto es, ha de acabar en cifra par y la totalidad de sus
cifras sumar un múltiplo de 3)
- Número 30A. La A puede
ser cualquier cifra par. Pero para ser divisible por 3 la suma de todas las
cifras del número ha de ser múltiplo de 3. Si la A es 0, la suma de todas es 3.
Por lo tanto, es divisible por 6. Si la A es 2, la suma de todas es 5, que no
es múltiplo de 3. Si la A es 4, la suma de todas es 7, que no es múltiplo de 3.
Si la A es 6, la suma de todas las cifras es 9, que es múltiplo de 3 y, por
tanto, de 6. Si la A es 8, la suma de todas las cifras es 11, que no es
múltiplo de 3.
Respuesta: La A puede ser 0 ó 6,
con lo que tendremos los números 300 y 306.
- Número 47B. Siguiendo
el mismo razonamiento que con el número anterior comprobaremos que la única
cifra que cumple las condiciones para que el número en cuestión sea divisible
por 6 es el 4.
Respuesta: B = 4. El número es
474.
- Número 6C8. Como termina
en cifra par, sólo nos tenemos que fijar en cuánto ha de valer la letra C para
que el número resultante sea divisible por 3 y, por tanto, por 6. Si la C
valiera 0, la suma de sus cifras sería 14, que no es múltiplo de 3. Si la C
valiera 1, la suma de sus cifras sería 15, múltiplo de 3. Si la C fuera 2, la
suma de las cifras sería 16, que no es múltiplo de 3. Siguiendo con estos
razonamientos, las cifras válidas para C son: 1, 4 y 7.
Respuesta: C = 1, 4 y 7. Los
números pueden ser: 618, 648 y 678.
- Número 9DE. Este
ejercicio es la joya de la corona, como se suele decir. Para responderlo es
aconsejable ayudarse de una tabla con dos columnas y 11 filas. En la columna de
la izquierda colocamos las 10 cifras, del 0 al 9, que pude valer la letra D y
en la segunda columna colocamos los valores que puede tomar la letra E para
cada uno de los valores de la D en la columna izquierda, de tal forma que el
número resultante sea divisible por 6. Quedaría algo así como esto:
|
D
|
E
|
Números
|
|
0
|
0, 6
|
900, 906
|
|
1
|
2, 8
|
912, 918
|
|
2
|
4
|
924
|
|
3
|
0, 6
|
930, 936
|
|
4
|
2, 8
|
942, 948
|
|
5
|
4
|
954
|
|
6
|
0, 6
|
960, 966
|
|
7
|
2, 8
|
972, 978
|
|
8
|
4
|
984
|
|
9
|
0, 6
|
990, 996
|
Descomposición de un número en factores primos: Descomponer un número en factores primos es encontrar
los factores primos que multiplicados originan el número.
Para
descomponer un número en sus factores primos se va dividiendo sucesivamente
entre los números primos por los que sea divisible, empezando por el menor. En
las divisiones sucesivas cada cociente se convierte en dividendo de la
siguiente división. Se termina cuando el último cociente es un uno.
EJEMPLO: Descomponer el número 72
en sus factores primos
|
¿El 72 es
divisible por 2? Sí, porque termina en cifra par
|
||
|
72
|
2
|
Pongo el 2
a la derecha y divido mentalmente, escribiendo debajo del 72 el resultado
|
|
36
|
2
|
Divido 36
entre 2 y el resultado lo escribo debajo del 36
|
|
18
|
2
|
Divido 18
entre 2 y el resultado lo escribo debajo del 18
|
|
9
|
3
|
9 no es
divisible por 2. ¿Es divisible por 3? Sí y escribo el resultado a la
izquierda
|
|
3
|
3
|
Divido 3
entre 3 y escribo el resultado debajo del 3
|
|
1
|
Como el
resultado es 1, he terminado.
|
|
|
72 =
|
23 · 32
|
|
Si tienes que descomponer un
número terminado en ceros, puedes empezar a dividir directamente entre la
unidad seguida del mismo números de ceros en que termine el número que hayas de
descomponer. Así, por ejemplo, si te piden descomponer el número 7.200 en sus
factores primos, puedes empezar dividiendo entre 100, con lo que se te queda en
72. Alguien podría preguntar que el número 100 no es un número primo, pero es
que no pondremos 100, sino que escribiremos la descomposición en factores de
100, que es: 100 = 102 = (2 · 5)2 = 22 · 52.
Recuerda que la unidad seguida de ceros es igual a los factores 2 · 5 elevados
cada uno al mismo exponente que número de ceros haya. Veamos un ejemplo.
EJEMPLO:
Descomponer el número 420 en sus factores primos.
|
Comienzo
dividiendo de entrada el 420 entre 10 (2 · 5)
|
||
|
420
|
2 · 5
|
Pongo 2 · 5
a la derecha y el resultado lo escribo debajo del 420
|
|
42
|
2
|
Como 42 es
divisible entre 2, lo divido y escribo el resultado debajo del 42
|
|
21
|
3
|
¿21 es
divisible entre 2? No. ¿Es divisible por 3? Sí. Divido y pongo el resultado
debajo del 21
|
|
7
|
7
|
¿7 es
divisible por 3? No, porque es primo. Divido 7 entre sí mismo
|
|
1
|
Como el
resultado es 1, he terminado.
|
|
|
420 =
|
22 · 3 · 5 · 7
|
|
Mínimo común múltiplo (mcm):
El
mcm de dos o más números es un número que es múltiplo a la vez de todos ellos
y, además, es el menor.
Para
hallar el mcm de dos o más números se descomponen éstos en sus factores primos
y se multiplican los factores primos comunes y no comunes
con su mayor exponente.
EJEMPLO: Calcular el mínimo común
múltiplo de 6 y 9.
|
6
|
2
|
9
|
3
|
Los
factores primos del 6 son 2 y 3. El factor primo del 9 es 3
|
|
|
3
|
3
|
3
|
3
|
Factores
primos comunes: el 3. Mayor exponente del 3: el 2
|
|
|
1
|
1
|
Factor
primo no común: el 2. Mayor exponente del 2: el 1
|
|||
|
6 =
|
2 · 3
|
9 =
|
32
|
Multiplicamos
los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente: 2 · 32
|
|
De esta forma tenemos el resultado: mcm (6
y 9) = 2 · 32 = 18.
(Cuando
un número es pequeño no es necesario realizar la descomposición en sus factores
primos, basta con escribirlos directamente: 6 = 2 · 3. Con la práctica y la
agilidad en el cálculo mental irás sabiendo cuáles son los factores primos de
los números pequeños).
[NOTA
ACLARATORIA: Para calcular el mcm sólo se tienen en cuenta los múltiplos
positivos de dos o más números, exceptuando el cero. Si no tuviéramos en cuenta
esta consideración, el mcm de dos o más números siempre sería -
. Sin embargo, los múltiplos de un número son
negativos y positivos, incluyendo el cero].
. Sin embargo, los múltiplos de un número son
negativos y positivos, incluyendo el cero].
Máximo común divisor de dos o más números (mcd):
El
mcd de dos o más números es un número que divide a todos ellos y, además, es el
máximo.
Para
calcular el mcd de dos o más números se descomponen éstos en sus factores
primos y se multiplican los factores primos comunes con su menor exponente.
EJEMPLO: Calcular el máximo común
divisor de 18 y 27.
|
18
|
2
|
27
|
3
|
Los
factores primos del 18 son 2 y 3. El factor primo de 27 es 3
|
|
|
9
|
3
|
9
|
3
|
Factores
primos comunes: el 3. Menor exponente: el 2
|
|
|
3
|
3
|
3
|
3
|
Multiplicamos
los factores primos comunes con su menor exponente: 32
|
|
|
1
|
1
|
||||
|
18 =
|
2 · 32
|
27 =
|
33
|
||
De esta forma tenemos el
resultado: mcd (18 y 27) = 32 = 9
Cuando
el mcd de dos o más números es 1, estos números son primos entre sí.
EJEMPLO:
Calcular el máximo común divisor de 4 y 9.
Factores primos de 4 = 22.
Factores primos de 9 = 32.
Factores primos comunes: ninguno,
excepto el 1 (recuerda que 1 es
divisor de todos)
Por lo tanto, mcd (4 y 9) = 1.
(Observa que ni el 4 ni el 9 son primos, pero sí son primos entre sí, porque
no tienen ningún divisor común, salvo el 1, que sería el máximo común divisor).
(Algoritmo de Euclides, o de las divisiones sucesivas, para
el máximo común divisor: Se divide el mayor entre el menor y se van
haciendo divisiones sucesivas de tal manera que el dividendo de la siguiente es
el divisor de la anterior y el divisor es el resto de la anterior. En la
división en que el resto sea cero, el divisor será el mcd. Ejemplo
mcd(5293,4757). 5293:4757, da de resto 536; 4757:536, da de resto 469; 536:469,
da de resto 67; 469:67, da de resto 0, luego 67 es el mcd de 5293 y 4757.) (Se
basa en que el mcd de dos números también es divisor del resto de la división
del mayor entre el menor. Así, 5293
entre 4757 da de resto 536, que dividido entre 67 da de resto 0).
(Euclides:
Matemático griego nacido en Alejandría, Egipto, en el 365 a .C. y muerto alrededor
del 300 a .C.
Obra principal: “Elementos de geometría”, de 13 volúmenes).
(El
algoritmo de Euclides también sirve para hallar el mínimo común múltiplo:
Una vez hallado el mcd por el algoritmo de Euclides, se divide uno de los
números entre el mcd y el resultado se multiplica por el otro número
obteniéndose así el mcm. Así, para hallar el mcm (5293, 4757) dividimos
cualquiera de ellos entre el mcd y obtendremos el mcm. Veamos: 5293 : 67 = 79.
79 · 4757 = 375803. Si dividimos el otro número tenermos: 4757 : 67 = 71. 71 ·
5293 = 375803. Luego mcm (5293, 4757) = 375803. En definitiva, no es nada más
que una aplicación de la propiedad que dice que el producto del mcd por el mcm
de dos números es igual al producto de dichos números).
(No
he encontrado ninguna razón de peso sobre la escritura con minúsculas
o mayúsculas de las abreviaturas
mcd y mcm, salvo la de “autoridad”: tanto Abellanas como Rey
Pastor lo escriben con minúsculas, al igual que la WEB del CNICE y la del
Departamento de Matemática Aplicada a la Ingeniería de la Universidad de
Valladolid y…).
NÚMEROS ENTEROS: Los
números enteros surgieron, entre otras razones, para poder realizar operaciones
que hasta entonces no eran posibles. Por ejemplo, no hay un número natural que
sea respuesta de 3 - 5.
Una
de las definiciones de números enteros es la de conjunto de números negativos y positivos: desde el
menos infinito hasta el más infinito:
… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
El
conjunto de los números enteros se representa con la letra Z
En
el conjunto de los números enteros están incluidos los naturales.
[El
nombre de ENTEROS probablemente se refiera a que representan cantidades enteras
de algo, no representan partes, divisiones o fracciones de algo. Parece ser que
la letra Z es la inicial de la palabra alemana Zahl, que significa número]
Representación gráfica de los números enteros:
Los
números enteros se pueden representar en una recta numérica marcando la
posición del cero y haciendo divisiones iguales hacia la izquierda y hacia la
derecha. Cada división representa un número. A la izquierda del cero pondremos
los negativos y a la derecha del cero, los positivos. Los números que en la
recta quedan a la izquierda son menores que los que quedan a la derecha.
Naturales
+ negativos = números enteros.
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-5
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-4
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-3
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-2
|
-1
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0
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1
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2
|
3
|
4
|
5
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|||||||||||
(Curiosidad:
en los apuntes bancarios los saldos negativos se apuntaban de color rojo. De
ahí la frase "estar en números rojos" para indicar que se debe dinero
al banco)
Valor absoluto de un número entero: Es el valor que tiene un número sin el signo. Se
representa con dos barritas verticales enmarcando al número.
|5| = 5 |-3|
= 3
Opuesto de un número: El opuesto de un número entero es otro número entero
con el mismo valor absoluto, pero distinto signo.
Op de 3 = -3 Op
de (-5) = 5
Si sumamos un número con su
opuesto, el resultado es cero.
3 + (-3) = 0
Comparación (ordenación) de números enteros:
a)
Si los dos son positivos,
es mayor el que tenga mayor valor absoluto.
4 > 3, 7 > 2, 1 < 6
b)
Si son de distinto signo,
es mayor el positivo.
3 > (-5), 7 > (-1) -6 < 2
c)
Si los dos son negativos
es mayor el que tenga menor valor absoluto (el que esté más a la derecha
en la recta numérica).
-2 > (-5), -4 > (-8) -6 < (-1)
Suma de números enteros:
a) Igual signo: Se suman los valores absolutos
y se pone el signo que tengan.
3 + 5 = 8 -4
+ (-2) = -6
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+
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+
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=
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-
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b) Distinto signo: Al de mayor valor absoluto se le
resta el de menor valor absoluto y al resultado se le pone el signo del que tenga mayor valor
absoluto.
3 + (-4) = -1 -5
+ 7 = 2
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(Nota:
El tamaño de los cuadros indica el valor absoluto: a mayor tamaño, mayor valor
absoluto)
Resta de números enteros: Se le
suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
3 – (-5) = 3 + 5 = 8 -8
– (-6) = -8 + 6 = -2
(Nota:
Podíamos haber puesto un ejemplo en el que el sustraendo fuera un entero
positivo, tal como 5 - 3, pero no debemos complicarnos la existencia, porque
esta operación sabemos hacerla desde hace ya mucho tiempo con los números
naturales: 5 - 3 = 2. Si lo quieres hacer complicado, sumándole al minuendo el
opuesto del sustraendo, sería algo así como esto: 5 - 3 = 5 + (-3) = 2)
Multiplicar y dividir números enteros
Se
multiplican o dividen sus
valores absolutos como los números naturales y para el signo se tienen en cuenta las
siguientes reglas:
a) Si los dos signos son iguales, el resultado es positivo.
3
· 4 = 12 -4 · (-3) = 12
12
: 6 = 2 -24 : (-8) = 3
b) Si los dos signos son distintos, el resultado es negativo.
-4
· 5 = -20 54 : (-6) = -9
Cuadro con la regla de los signos (es válido para la multiplicación y para la división):
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+
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+
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+
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(Nota:
Este cuadro también es válido para la división, cambiando el signo de multiplicar
por el de dividir)
Jerarquía de las operaciones:
Cuando
hay varias operaciones combinadas hay que realizarlas atendiendo a las
siguientes prioridades:
-
Primero: Paréntesis.
-
Segundo: Multiplicaciones y divisiones por el orden en que
aparezcan
(No es lo mismo 72:6·12, que da 144, que hacer 6·12 y
luego dividir 72 entre 72, que daría 1. No se puede cambiar el orden, porque la
división no es conmutativa ni asociativa).
-
Tercero: Sumas y restas.
-
Si hay varias operaciones seguidas
con la misma jerarquía,
se realizan por orden, de
izquierda a derecha.
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PARÉNTESIS
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Productos y
Divisiones
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Sumas y Restas
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(Podio de la Jerarquía de las operaciones)
Quitar paréntesis:
-
Si delante de un paréntesis hay un signo + quitamos
el signo + y el paréntesis, dejando todos los números que haya dentro con el mismo signo que tuvieran antes:
3 + (-5) + (-2 - 1) + (4 + 2) = 3 – 5 – 2 – 1 + 4 + 2
- Si delante de un paréntesis hay un signo - quitamos
el signo – y el paréntesis y a todos los números que haya dentro los cambiamos de signo:
2 - (-8) - (3 - 2) - (-4 + 1) = 2 + 8 – 3 + 2 + 4 - 1
-
Si delante de un número o de un paréntesis no hay signo, se considera que tiene
el signo +.
-
Los enteros positivos se escriben sin signo, igual que los naturales.
-
No puede haber dos signos seguidos (si los hubiera, hay que separarlos con
paréntesis).
Resolución
de operaciones combinadas:
Cuando
haya una sucesión de varias operaciones se pueden resolver de la siguiente
manera:
Primero hay que quitar
paréntesis, si los hubiera:
- Se puede empezar quitando los de dentro
y terminar por el de fuera o, al revés, ir
quitando desde fuera hacia dentro (¡OJO!
con el signo menos).
EJEMPLO: 3 – [4
+ 2 · (3 – 1) – (-5 – 1) + 2 · 3]
Resolvámoslo
empezando desde dentro
hacia fuera:
3 – [4 + 2 · (3 – 1) – (-5 – 1) + 2 · 3] = 3 – (4 + 6 – 2
+ 5 + 1 + 2 · 3) =
= 3 – 4 – 6 + 2 - 5 - 1 - 2 · 3
(Nota: en el primer paso,
para quitar el paréntesis de 2 · (3 - 1), hemos empleado la propiedad
distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta)
Resolvámoslo empezando desde fuera hacia dentro:
3 – [4 + 2 · (3 – 1) – (-5 – 1) + 2 · 3] = 3 - 4 - 2 ·
(3 - 1) + (-5 - 1) - 2 · 3 =
= 3 - 4 - 6 + 2 - 5 - 1 - 2 · 3
(No me cansaré de repetirlo:
¡MUCHO CUIDADO CON LOS SIGNOS MENOS!)
Quitados los paréntesis se
sigue aplicando la jerarquía de las operaciones
(multiplicaciones y divisiones):
3 - 4 - 6 + 2 - 5 - 1 - 2 · 3 = 3 - 4 - 6 + 2 - 5 - 1 -
6
Terminamos
la jerarquía de las operaciones con las sumas y las restas, que se pueden
realizar
de dos maneras:
- Se suman los números precedidos del signo más y
luego los precedidos del signo menos y al resultado de mayor valor absoluto
se le resta el de menor valor absoluto y se pone el signo del de mayor valor
absoluto.
3 - 4 - 6 + 2 - 5 - 1 - 6 = 5 - 22 = -17
- Se suman secuencialmente: el primer
número de la izquierda con el segundo, el resultado con el tercero y así
sucesivamente.
3 - 4 - 6 + 2 - 5 - 1 - 6 = -1 - 6 + 2 - 5 - 1 - 6 =
-7 + 2 - 5 - 1 - 6 =
= -5 - 5 -
1 - 6 = -10 - 1 - 6 = -11 - 6 = -17
Se pueden resolver las operaciones
que haya en el interior del paréntesis (si no
te han indicado lo contrario):
3 – [4 + 2 · (3 – 1) – (-5 – 1) + 2 · 3] = 3 - (4 + 2 ·
2 + 6 + 6) =
= 3 - (4 + 4 + 6 + 6) = 3 - 20 = -17
(Nota:
observa que - (-5 -1) se ha quedado en +6. Repito: ¡CUIDADO CON EL SIGNO
MENOS!)
Propiedad distributiva de la multiplicación con
respecto a la suma o resta [a · (b + c)]:
Si hay que multiplicar un número por una suma (o resta) se puede multiplicar al
número por cada uno de los sumandos y sumar (o restar) los resultados
a · (b + c) = a · b + a · c→ 2 · (3 + 4) = 2 · 3
+ 2 · 4
2 · 7 = 6 + 8
14 = 14
a · (b – c) = a · b – a · c→ 2 · (4 – 3) = 2 · 4
– 2 · 3
2 · 1 = 8 – 6
2 = 2
-a · (b – c) = -a · b + a · c→ -2 · (4 – 3) = -2 · 4 + 2 · 3
-2 · 1 = -8 + 6
-2 = -2
(Esta propiedad quizás la veas
un poco absurda y te parecerá que los profesores la ponemos para dificultarte
la vida. De todas formas, si te piden que realices la siguiente operación 13 ·
(3 + 2) y no te indican cómo, tú puedes operar como te sientas más seguro:
puedes sumar 3 más 2 igual a 5 y multiplicar 5 por 13 igual a 65 (recuerda:
primero se opera lo que hay dentro del paréntesis). También podías haber
aplicado la propiedad distributiva: 13 por 3 igual a 39, 13 por 2 igual a 26 y
sumar 39 más 26 igual a 65. Estoy de acuerdo en que de la primera manera es más
cómoda y sencilla, pero eso no quiere decir que la propiedad distributiva
carezca de efectividad; ya irás viendo, conforme vayan aumentando tus
conocimientos, que esta propiedad es muy útil).
Divisibilidad
en los números enteros: La divisibilidad en los
números enteros se define
igual que en los números naturales, teniendo en cuenta que en los
números enteros los múltiplos y divisores son negativos y positivos.
Ejemplo: múltiplos
enteros de 2 = 0, ±2,
±4, ±6, ±8, …
divisores
enteros de 12 = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
(Recuerda
que para el mcm sólo se tienen en cuenta los enteros positivos, porque, si no,
el mcm de cualquier conjunto de números siempre sería menos infinito, pero en
los múltiplos y divisores de un número entero también hay que tener en cuenta
los enteros negativos).
¡Gracias por colgar los apuntes!
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