TEMA 13: ÁREAS Y VOLÚMENES
ÁREAS
En los cuerpos geométricos, excepto en la esfera, se distinguen tres tipos de áreas:
a) Área Lateral: es la suma de las áreas de cada cara. Se calcula el área de una cara y se multiplica por el número de caras que haya.
AL = n·AC (AL : Área Lateral; n: números de caras; AC: Área de una cara).
b) Área de las Bases: es la suma de las áreas de cada base. Se calcula el área de una base y, ¡OJO!, en los prismas y cilindros se multiplica por dos.
AB = Área del polígono de una de las bases.
c) Área Total: es la suma del área lateral y del área de las bases.
AT = AL + 2AB (en los prismas y cilindros)
AT = AL + AB (en las pirámides y conos)
POLIEDROS REGULARES:
Los poliedros regulares tienen fórmulas específicas para calcular su área en función de la arista. En la página 259 del libro de texto de 2º de la ESO de Bruño hay un cuadro con las fórmulas del área y del volumen de los poliedros regulares.
[Nota: Al hablar de área en los poliedros regulares nos referimos a la suma de las áreas de cada cara, o sea, al área total]
ÁREA DEL HEXAEDRO O CUBO:
Para calcular el área del hexaedro o cubo bastará con hallar el área de uno de los cuadrados de las caras y multiplicar por 6, que son las caras que tiene un cubo. Y como el área de una cara (AC) es la arista del hexaedro al cuadrado, el área del cubo será: A = 6a2
Ejemplo: Calcula el área de un cubo de 4 cm de arista.
ÁREA DEL TETRAEDRO:
Para calcular el área del tetraedro (AT) bastará con hallar el área de uno de los triángulos equiláteros (At) que forman las caras y multiplicar por 4, que son las caras que tiene un tetraedro. Lógicamente, para saber el área de uno de los triángulos que forman las caras hay que calcular la altura en función de la arista del tetraedro, utilizando el teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Calcula el área de un tetraedro de 6 cm de arista.
ÁREA DEL OCTAEDRO:
Para calcular el área del octaedro (AO) bastará con hallar el área de uno de los triángulos equiláteros (At) que forman las caras y multiplicar por 8, que son las caras que tiene un octaedro. Lógicamente, para saber el área de uno de los triángulos que forman las caras hay que calcular la altura en función de la arista del octaedro, utilizando el teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Calcula el área de un octaedro de 6 cm de arista.
ÁREAS DE LOS PRISMAS:
Ejemplo: Calcula el Área Total de un prisma cuadrangular regular de 3 cm de arista de la base y 5 cm de arista lateral.
ÁREAS DE LAS PIRÁMIDES:
Se calculan igual que en los prismas, teniendo en cuenta que las caras laterales son triángulos isósceles y que sólo tienen una base.
Ejemplo: Calcula el Área Total de una pirámide cuadrangular regular de 3 cm de arista de la base y 5 cm de arista lateral.
ÁREAS DEL CILINDRO:
a) Área Lateral: Si desarrollamos (desplegamos) un cilindro, su superficie lateral se convierte en un rectángulo, cuya área es base x altura. Si tenemos en cuenta que la base de este rectángulo es la longitud de la circunferencia de la base del cilindro, el Área Lateral del Cilindro será:
b) Área de las Bases: Es el área de uno de los dos círculos de las bases.
AB = pr2
c) Área Total: Es la suma del área lateral y del área de las dos bases.
AT = AL + 2AB
Ejemplo: Calcula el Área Total de un cilindro de 3 cm de radio y 5 cm de altura.
ÁREAS DEL CONO:
a) Área Lateral: Es el área del sector circular que se forma al desarrollar (desplegar) el cono.
(He incluido la demostración de la fórmula del Área Lateral del Cono porque no me parece muy difícil y considero que está al alcance de cualquier alumno que lleve el curso sin problemas)
(También podría considerarse que el sector circular es un triángulo, de base 2pr y de altura g: A = b·h/2; A = 2prg/2; A = prg. Proporcionalmente: La longitud de la circunferencia, 2pg, en donde estaría encuadrado el sector, (g, generatriz del cono, es el radio de la circunferencia grande) es al área del círculo grande, como la longitud del arco del sector circular es a la superficie del sector circular: 2pg/pg2 = 2pr/ AL . De aquí se deduce que AL = prg).
b) Área de la Base : Es el área del círculo de la base.
AB = pr2
c) Área Total: Al área lateral se le suma el área de la base.
AT = AL + AB
Ejemplo: Área Total de un cono de 3 cm de radio y 5 cm de altura.
ÁREA DE LA ESFERA :
La superficie de una esfera es igual a la del área lateral del cilindro circunscrito a ella (el radio, r, de la base de este cilindro es igual al radio, R, de la esfera y la altura, h, del cilindro es igual al diámetro, 2R, de la esfera). El área lateral de este cilindro será AL = 2pRh = 2pR · 2R, con lo que el área de la esfera, igual al área lateral del cilindro circunscrito, será:
[También la superficie de cualquier porción de la esfera comprendida entre dos planos paralelos equivale a la superficie lateral de la porción correspondiente del cilindro circunscrito]
Ejemplo: Calcula el área de una esfera de 5 cm de radio.
MEDIDA DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
El volumen es una medida de la capacidad de los cuerpos o del lugar que ocupan en el espacio. Para medir el volumen de los cuerpos se utilizan 3 dimensiones (que suelen ser: largo, ancho y alto). La unidad de volumen es el metro cúbico (m3) y sus múltiplos y submúltiplos se obtienen multiplicando o dividiendo por 1000 la unidad inmediata correspondiente:
Relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa:
Volumen: m3------dm3------cm3
Capacidad: kl---------l---------ml
Masa (agua): t--------kg---------g
1 dm3 = 1 l = 1 kg 1 m3 = 1 kl = 1 t 1 cm3 = 1 ml = 1 g
VOLUMEN DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS: En general, el volumen de los cuerpos geométricos se calcula multiplicando el área de la base por la altura del cuerpo en cuestión (este cálculo se complica un poco en las pirámides, conos y esferas).
VOLUMEN DEL CUBO: El volumen del cubo es área de la base por la altura. Como la base es un cuadrado, su área es lado al cuadrado (l2) o arista al cuadrado (a2) y multiplicado por la altura, que es igual a la arista, obtenemos que la fórmula del volumen del cubo es:
V = a3
Ejemplo: Calcula el volumen de un cubo de 4 cm de arista.
VOLUMEN DEL TETRAEDRO:
Ejemplo: Calcula el volumen de un tetraedro de 6 cm de arista.
V = l · a · h
Ejemplo: Calcula el volumen de un ortoedro de 6 cm de largo, 5 cm de ancho y 2 cm de alto.
VOLUMEN DEL PRISMA: El volumen del prisma es igual al área de la base por la altura:
V = AB·h
Ejemplo: Calcula el volumen de un prisma cuadrangular regular de 3 cm de arista de la base y 5 cm de arista lateral.
VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE: Si se dispone de un recipiente con forma de pirámide que tenga la misma base y la misma altura que otro recipiente con forma de prisma, se puede comprobar que el volumen de la pirámide es un tercio del volumen del prisma, porque, si llenamos la pirámide de agua y la vertemos en el prisma, necesitaremos tres pirámides para llenar el prisma. Por lo tanto, si el volumen del prisma es área de la base por la altura, el volumen de la pirámide será un tercio del área de la base por la altura.
V =
Ejemplo: Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 3 cm de arista de la base y 5 cm de arista lateral.
[Para calcular la altura de la pirámide aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por la altura (h), la semidiagonal de la base (c) y la arista lateral (a). Primero hallaremos la diagonal (d) del cuadrado en función del lado (l) del mismo]
VOLUMEN DEL CILINDRO: El volumen del cilindro es igual al área de la base por la altura:
V = AB·h
Como la base del cilindro siempre es un círculo y el área del círculo es pr2 también podemos escribir el volumen del cilindro con la siguiente fórmula:
V = pr2h
Ejemplo: Calcula el volumen de un cilindro de 3 cm de radio y 5 cm de altura.
VOLUMEN DEL CONO: Si se dispone de un recipiente con forma de cono que tenga la misma base y la misma altura que otro recipiente con forma de cilindro, se puede comprobar que el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro, porque, si llenamos el cono de agua y la vertemos en el cilindro, necesitaremos tres conos para llenar el cilindro. Por lo tanto, si el volumen del cilindro es área de la base por la altura, el volumen del cono será un tercio del área de la base por la altura.
Como la base del cono siempre es un círculo y el área del círculo es pr2 también podemos escribir el volumen del cono con la siguiente fórmula:
Ejemplo: Calcula el volumen de un cono de 3 cm de radio de la base y 5 cm de altura.
VOLUMEN DE LA ESFERA: Si construimos algo parecido a una pirámide con vértice en el centro de la esfera y base un trozo de la superficie esférica, veremos que esta especie de pirámide tiene como altura el radio de la esfera. Cuanto más pequeña sea la base de esta especie de pirámide más se parecerá a una pirámide (porque la base dejará de ser curva y tenderá a ser plana). Nos podemos imaginar el volumen de la esfera como la suma de los volúmenes de todas las pirámides que podamos construir dentro de ella. Así, el volumen de la esfera será:
Ejemplo: Calcula el volumen de una esfera de 5 cm de radio.
