1º ESO. TEMA 14: GRÁFICAS

TEMA 14: TABLAS Y GRÁFICAS

EJES DE COORDENADAS CARTESIANAS




[Se llaman coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (Renatus Cartesius, en latín), filósofo, matemático (considerado como el creador de la geometría analítica, que se verá en cursos posteriores) y físico francés. Nació el 1596 en La Haye, actual Descartes, (Francia) y murió el 1650 en Estocolmo (Suecia). De él es la célebre frase “Cogito, ergo sum”, traducción del francés “Je pense, donc je suis” (Pienso, luego existo).]

Un punto se representa por dos números (coordenadas) separados por una coma (x , y). El primer número, x, corresponde a la situación del punto en el eje horizontal de las X (abscisas). El segundo número, y, corresponde a la situación del punto en el eje vertical de las Y (ordenadas). Así, por ejemplo:

A(3, 1), B(-4, 2), C(-2, -3), D(4, -2).

Gráfica: Cuando en unos ejes de coordenadas cartesianas se representan varios puntos se obtiene una gráfica, que puede ser de puntos o de una línea.

Gráfica de puntos: Se obtiene una gráfica de puntos cuando se relacionan dos magnitudes y una de ellas sólo toma valores enteros (1, 2, 3,…). Por ejemplo, el número de libros y su importe: sólo puedo comprar un número entero de libros(no puedo comprar 1,5 libros, ni 1,7, ni 2,8, etc).

Gráfica de línea: Se obtiene una gráfica de línea cuando se relacionan dos magnitudes y las dos pueden tomar cualquier valor. Por ejemplo, el peso de las naranjas y su importe: puedo comprar un kilo, kilo y medio, kilo y tres cuartos, etc.



Gráfica creciente: Una gráfica es creciente si al recorrerla de izquierda a derecha, la gráfica asciende.


Gráfica decreciente: Una gráfica es decreciente si al recorrerla de izquierda a derecha, la gráfica desciende.


Una gráfica puede ser creciente en un tramo y decreciente en otro, en cuyo caso puede presentar máximos y mínimos.


Una gráfica tiene un máximo en un punto cuando en ese punto cambia de creciente a decreciente. [En la gráfica de aquí abajo el máximo está en el punto (2, 3)].


Una gráfica tiene un mínimo en un punto cuando en ese punto cambia de decreciente a creciente. [En la gráfica de aquí abajo el mínimo está en el punto (1, -2)].


Variables en una gráfica: Cada punto de una gráfica relaciona dos magnitudes, que se llaman variables y pueden ser:
- Variable independiente: Se representa por la x en el eje de abscisas (en el eje X). Ejemplo: El peso de las manzanas.
- Variable dependiente: Se representa por la y en el eje de ordenadas (en el eje Y) y su valor depende de lo que valga la x (se dice que y es función de x). Ejemplo: El importe de las manzanas (depende de los kg que se compren).

Variable estadística: Es el dato o característica que se quiere estudiar en un estudio estadístico. Por ejemplo: la estatura, la calidad de las bombillas, la nota de Matemáticas, etc. Puede ser cuantitativa o cualitativa. Se representa con xi.
- Variable cuantitativa: Es aquélla que estudia algo que se expresa mediante números. Por ej., la estatura, la nota de Matemáticas, etc.

- Variable cualitativa: Es aquélla que estudia algo que no puede expresarse por números. Por ej., qué programa de TV se ve más, qué libro de lectura es el preferido por los alumnos de 1º de ESO, etc.

Frecuencia absoluta: Es el número de veces que aparece cada valor o modalidad de la variable. Por ej., si 3 alumnos han sacado un 6 en Matemáticas, la frecuencia absoluta del valor 6 de la variable es 3. Se representa con ni.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número de individuos o de datos que hay en un estudio estadístico y se representa por N.

Frecuencia relativa: Es el resultado de dividir la frecuencia absoluta (ni) de un valor de la variable entre el número total de datos (N):

La suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad.


Tabla de frecuencias: Para ordenar los datos de un estudio estadístico y anotar las frecuencias se utiliza una tabla de frecuencias de tal forma que cada valor de la variable aparezca en una columna y sus frecuencias en otras. Por ejemplo, si estamos estudiando las notas de Matemáticas en 1º de la ESO, habríamos de proceder de una forma parecida a la siguiente:

Variable
(Notas)
xi
Frecuencia
(Alumnos)
ni
Frecuencia
relativa ( )
fi
0
2
0,07
1
2
0,07
2
1
0,03
3
4
0,13
4
2
0,07
5
3
0,1
6
3
0,1
7
4
0,13
8
3
0,1
9
4
0,13
10
2
0,07

30
1



MEDIDAS CENTRALES: Sirven para saber cuál es el valor que toma la variable en el conjunto de los individuos que se estudian. Es una forma de resumir los datos. Las más utilizadas son la media aritmética, la mediana y la moda.

a) Media aritmética: Nos indica cuál sería el valor de la variable si consideráramos a todos los individuos del estudio como uno solo. Sólo se puede calcular con datos cuantitativos y se puede hacer de dos maneras:

- Sumando todos los valores obtenidos de la variable estudiada y dividiéndolos por el número de datos que haya.

Ejemplo: Las notas de Javier en los controles de la 3ª evaluación han sido: 8, 7, 5, 6, 4, 6. ¿Cuál es su nota media?

- Si los datos nos los dan en una tabla de frecuencias, se multiplica cada dato por su frecuencia (xi · ni), se suman los resultados y se divide entre el número de datos (N).

Notas (xi)
Frecuencia abosoluta (ni)
xi · ni
5
7
35
6
3
18
7
2
14
8
4
32
9
3
27
10
1
10

20
136



b) Mediana: Es el valor que ocupa el lugar del medio, el central, después de haber ordenado todos los datos de menor a mayor.

Si el número de datos es impar, sólo habrá uno en el medio.

Ejemplo: ¿Cuál es la mediana de las siguientes notas: 8, 7, 9, 4, 6, 8, 5, 7, 6?

Notas ordenadas: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9.

Me = 7

Si el número de datos es par, habrá dos que ocupen el lugar central y habremos de hallar la media aritmética de ambos.

Ejemplo: ¿Cuál es la mediana de las siguientes notas: 6, 5, 8, 3, 9, 6, 5, 7, 7, 8?

Notas ordenadas: 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9.


c) Moda: Es el dato que tiene mayor frecuencia absoluta (el que más abunda, el que está “de moda”). Puede haber más de una moda.

Ejemplo: De estas notas: 5, 5, 7, 6, 8, 9, 5, 6, 3, 2, 1, 5, 6, 4 la moda es Mo = 5, porque es el que más abunda (4 veces).



Representaciones gráficas

Diagrama de barras: Es una representación gráfica de los valores de la variable y su frecuencia.

En el primer cuadrante de los ejes de coordenadas se sitúan en el eje de las X (abscisas) los valores o cualidades de la variable y en el eje de las Y (ordenadas) se sitúan las frecuencias absolutas de cada uno. Con una barra se visualizan las frecuencias de cada valor de la variable.




Diagrama de Sectores: representación gráfica en la que cada valor de la variable es representado por un sector circular.

La amplitud del sector circular se calcula dividiendo 360º entre el número total de datos (N) y multiplicando este resultado por la frecuencia absoluta (ni) de cada valor o modalidad de la variable.

Ejemplo: Se ha preguntado a 30 alumnos de una clase de 1º de ESO qué estación del año preferían: Primavera (P), Verano (V), Otoño (O) o Invierno (I). Los resultados han sido éstos: P, V, V, P, O, O, V, V, I, P, I, P, I, O, V, V, V, I, O, P, P, V, V, O, O, P, V, V, V, P. Tabula los datos en una tabla de frecuencias y representa los resultados en un diagrama de sectores.

Variable
(Estación del año)
xi
Frecuencia
ni
Amplitud de sectores
(Para cada dato: 360º : 30 = 12º)
P
8
8 · 12º = 96º
V
12
12 · 12 = 144º
O
6
6 · 12º = 72º
I
4
4 · 12º = 48º

30
30 · 12º = 360º




También se utilizan mucho en los medios de comunicación los pictogramas, que consisten en representar los datos con dibujos referidos a la variable que se estudia y de tamaño proporcional a la frecuencia de los valores de la variable.



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